2022年10月山东自考微分几何试题

一、判断题（本大题共5小题，每小题2分，共10分）

判断下列各题，正确的在题后括号内打“√”，错的打“×”。

1．曲面的克氏记号 是曲面的内蕴量。(　　　)

2．曲率挠率分别为不等于零的常数的曲线Γ是圆柱螺线。(　　　)

3．曲面S为平面的充要条件是ΙΙ=0。(　　　)

4．曲面上的曲纹坐标网为共轭网的充要条件为M=0。(　　　)

5.可展曲面的平均曲率必为零。(　　　)

二、单项选择题(本大题共6小题，每小题2分，共12分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.已知曲线 = (t)在 (t0)点的挠率为τ，曲线在 (t0)点附近是右旋的，则τ的值是(　　　)

A.-2 B.

C.-  D.-

2．曲线 = (s)在P(s)点的基本向量为 。在P点的曲率为k(s)，挠率为τ(s)，则τ(s)是(　　　)

A.  B.

C.  D. 

3．对曲面的第一基本形式Ι=Edu2+2Fdudv+Gdv2，EG-F2满足(　　　)

A.>0 B.<0

C.≥0 D.≤0

4．在曲面的椭圆点处第二基本量L、M、N满足(　　　)

A.LN-M2>0 B.LN-M2＜0

C.LN-M2=0 D.L=M=N=0

5．F=M=0的充要条件是曲纹坐标网为(　　　)

A.正交网 B.共轭网

C.曲率线网 D.渐进网

6．曲面上使κn=κg=0的曲线不一定是(　　　)

A.直线 B.渐近线

C.曲率线 D.测地线

三、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

1．向量函数 = (t)对任意t有 ′(t)⊥  (t)的充要条件是______。

2．已知曲线 = (t)在P点的单位切向量为 ={0,1,0}，单位主法向量 ={0,0,1}，则曲线在P点的单位副法向量 =______。

3．已知曲面 =  (u,v)有 =4du2+2dudv+3dv2，则曲面的EG-F2是______。

4．曲面 =  (u,v)上渐近曲线的微分方程是______。

5．半径为R的球面的高斯曲率K=______。

6．直纹面 =  (u)+v  (u)是可展曲面的充要条件是______。

四、计算题(本大题共5小题，每小题6分,共30分)

1．求曲线x=1+3t+2t2,y=2-2t+5t2,z=1-t2的挠率和密切平面。

2．求平面族a2x+2ay+2z=2a的包络。

3．求曲面z=xy2的第一基本形式。

4．求正螺面 ={ucosv,usinv,bv}的主曲率。

5.求曲面∑： ={tcosθ,tsinθ,t}的第二基本形式。

五、证明题(本大题共5小题，每小题6分，共30分)

1．如果曲线Γ： ＝  (s)为一般螺线, 、 为Γ的切向量和主法向量，R为Γ的曲率半径。证明 ： =R - 也是一般螺线。

2．若曲线既是测地线又为曲率线，则曲线是平面曲线。

3．证明一条曲线的所有切线不可能同时都是另一条曲线的切线。

4．证明在曲面z=f(x)+g(y)上曲线族x=常数,y=常数构成共轭网。

5．证明每一条曲线在它的主法线曲面上是渐近线。