山东自考本科：04184线性代数复习资料第三章向量空间（1）

定理3  若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关.

定理4  无关组的接长向量组必无关.

（三）向量组的极大无关组和向量组的秩

　　1．向量组等价的概念

若向量组S可以由向量组R线性表出，向量组R也可以由向量组S线性表出，则称这两个向量组等价.

　　2．向量组的极大无关组

设T为一个向量组，若存在T的一个部分组S，它是线性无关的，且T中任一个向量都能由S线性表示，则称部分向量组S为T的一个极大无关组.

显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身.

对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质：

定理1  向量组T与它的任一个极大无关组等价，因而T的任意两个极大无关组等价.

定理2  向量组T的任意两个极大无关组所含向量的个数相同.

　　3．向量组的秩与矩阵的秩的关系

把向量组T的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组T的秩.

把矩阵A的行向量组的秩，称为A的行秩，把A的列向量组的秩称为A的列秩.

定理：对任一个矩阵A，A的列秩=A的行秩=秩（A）

此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵A，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组.

例3  求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出：

（四）向量空间